Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.1 (7 BE)

Gegeben ist weiterhin eine quadratische Funktion

p

. Der Graph von

p

besitzt an der Stelle

x = - \frac{9}{4}

den Scheitelpunkt und berührt den Graphen der Funktion

f

(aus Aufgabe 2) an der Stelle

x = - 1

Bestimmen Sie den Funktionsterm

p (x)

.
[Ergebnis:

p (x) = - \frac{2}{3} x^{2} - 3 x + \frac{5}{3}

]

Lösung zu Teilaufgabe 3.1

Funktionsgleichung ermitteln

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f (x) = \frac{1}{9} (x^{3} + x^{2} - 16 x + 20)

p

ist quadratische Funktion:

p (x) = a x^{2} + b x + c

Bedingungen analysieren:

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichungssystem aufstellen

Über die gegebenen Bedingungen lassen sich Gleichungen aufstellen, welche die Parameter

a

b

und

c

enthalten. Durch das Lösen des dadurch entstandenen Gleichungssystems erhält man die gesuchten Werte.

Scheitel bei $x = - \frac{9}{4}$ , $p$ hat also bei $x = - \frac{9}{4}$ eine waagrechte Tangente: $p^{'} (- \frac{9}{4}) = 0$
Erste Ableitung bilden:

$p^{'} (x) = 2 a x + b$

$p^{'} (- \frac{9}{4}) = - \frac{9}{2} a + b = 0$ (I)

$p$ und $f$ berühren sich bei $x = - 1$ , haben also die gleiche Steigung bei $x = - 1$ : $p^{'} (- 1) = f^{'} (- 1)$

$p^{'} (- 1) = - 2 a + b$

$f^{'} (- 1) = \frac{1}{9} (3 (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) - 16) = \frac{1}{9} \cdot (- 15) = - \frac{5}{3}$

$p^{'} (- 1) = f^{'} (- 1)$

$- 2 a + b = - \frac{5}{3}$ (II)

$p$ und $f$ berühren sich bei $x = - 1$ , haben also den gleichen Funktionswert bei $x = - 1$ : $p (- 1) = f (- 1)$

$p (- 1) = a - b + c$

$f (- 1) = \frac{1}{9} ((- 1)^{3} + (- 1)^{2} - 16 \cdot (- 1) + 20) = \frac{1}{9} \cdot 36 = 4$

$p (- 1) = f (- 1)$

$a - b + c = 4$ (III)

Gleichungssystem:

(I)

- \frac{9}{2} a + b = 0

(II)

- 2 a + b = - \frac{5}{3}

(III)

a - b + c = 4

(I)-(II):

- \frac{5}{2} a = \frac{5}{3} \Rightarrow a = - \frac{2}{3}

Einsetzen von

a = - \frac{2}{3}

in (I):

- \frac{9}{2} \cdot (- \frac{2}{3}) + b = 0

b = - 3

Einsetzen von

a = - \frac{2}{3}

und

b = - 3

in (III):

- \frac{2}{3} - (- 3) + c = 4

c = \frac{5}{3}

Berechnete Werte für

a

b

und

c

p (x)

einsetzen:

p (x) = - \frac{2}{3} x^{2} - 3 x + \frac{5}{3}

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Funktionsgleichung ermitteln

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