Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (7 BE)

In einem Geländemodell liegen die Hänge eines Bergrückens in den Ebenen

E

und

F

. Der Grat dieses Bergrückens wird von einem Teil der Geraden

s

gebildet. Die

x_{1}

-Achse zeigt in Südrichtung, die

x_{2}

-Achse in Ostrichtung. Vom Punkt

B

aus wird horizontal ein Tunnel in Ostrichtung durch den Berg bis zur Ebene

F

gebohrt.

Berechnen Sie die Länge des Tunnels im Geländemodell.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

B (2 | - 2 | 0, 5)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Tunnel wird vom Punkt

B

aus horizontal in Ostrichtung gebohrt.
Die Grade

g

, die die Bohrung repräsentiert, verläuft somit durch den Punkt

B

und ist parallel zur

x_{2}

-Achse.

Gerade

g

(durch

B

und parallel zur

x_{2}

-Achse) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Die Gerade

g

verläuft durch den Punkt

B

\Rightarrow \vec{O B}

Ortsvektor

Die Gerade

g

verläuft parallel zur

x_{2}

-Achse in positiver Richtung (Osten):

\Rightarrow (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Richtungsvektor

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0, 5 \end{matrix}) + τ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F : x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0 \Leftrightarrow \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 4

Schnittpunkt

B^{'}

der Geraden

g

mit der Ebene

F

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{x} = \vec{x_{0}} + τ \cdot \vec{a}

(\vec{x_{0}}

ist der Ortsvektor und

\vec{a}

der Richtungsvektor

)

eine Ebene

F : \vec{x} \cdot \vec{n_{F}} = c

(\vec{n_{F}}

ist der Normalenvektor und

c \in ℝ)

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

τ

die Normalenform der Ebene

F

.

Man setzt

g

F

ein

[\vec{x_{0}} + τ \cdot \vec{a}] \cdot \vec{n_{F}} = c

und löst die Gleichung nach

τ

auf.

g \cap F : [(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0, 5 \end{matrix}) + τ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = 4

(2 + 0 \cdot τ) \cdot 1 + (- 2 + 1 \cdot τ) \cdot 1 + (0, 5 + 0 \cdot τ) \cdot 2 = 4

2 - 2 + τ + 1 = 4

\Rightarrow τ = 3

τ = 3

in die Geradengleichung einsetzen:

\vec{x_{B^{'}}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0, 5 \end{matrix}) + 3 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0, 5 \end{matrix})

\Rightarrow B^{'} (2 | 1 | 0, 5)

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Länge des Tunnels bestimmen:

\vec{B B^{'}} = \vec{O B^{'}} - \vec{O B} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0, 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

| B B^{'} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{9} = 3

\Rightarrow

Der Tunnel hat eine Länge von 3 LE.

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt Ebene und Gerade

Länge eines Vektors

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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