Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (5 BE)

f

besitzt eine Umkehrfunktion

f^{- 1}

. Geben Sie die Definitionsmenge von

f^{- 1}

an und bestimmen Sie für

f^{- 1}

einen Funktionsterm.
(Hinweis: Erweitern Sie den Term von

f

mit

e^{x}

.)
[mögliches Teilergebnis:

f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Definitionsbereich bestimmen

D_{f} = ℝ, W_{f} =] - 1; 1 [

Schritt einblenden / ausblenden

Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion

Regel:

Der Definitionsbereich einer Funktion f ist gleich dem Wertebereich ihrer Umkehrfunktion

f^{- 1}

, d.h.

D_{f} = W_{f^{- 1}}

und umgekehrt

\Rightarrow W_{f} = D_{f^{- 1}}

\Rightarrow D_{f^{- 1}} =] - 1; 1 [

\Rightarrow W_{f^{- 1}} = ℝ

Umkehrfunktion bestimmen

y = f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} | \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}}

= \frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1} | \cdot e^{2 x} + 1

\Rightarrow y \cdot e^{2 x} + y = e^{2 x} - 1

\Rightarrow 1 + y = e^{2 x} - y \cdot e^{2 x}

\Rightarrow 1 + y = e^{2 x} \cdot (1 - y)

\Rightarrow \frac{1 + y}{1 - y} = e^{2 x}

\Rightarrow \ln (\frac{1 + y}{1 - y}) = \ln e^{2 x}

\Rightarrow \ln (\frac{1 + y}{1 - y}) = 2 x

\Rightarrow x = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1 + y}{1 - y})

\begin{matrix} \Rightarrow \\ ↑ \\ y = x \end{matrix} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1 + x}{1 - x})

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Definitionsbereich bestimmen

Umkehrfunktion bestimmen

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?