Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2d (6 BE)

Der Graph der quadratischen Funktion

q : x \mapsto (1 - \frac{1}{e}) x^{2} + \frac{1}{e}

mit

D_{q} = ℝ

hat seinen Scheitel im Punkt

T (0 | \frac{1}{e})

und verläuft durch die Punkte

A (- 1 | 1)

und

B (1 | 1)

(Nachweis nicht verlangt).
Berechnen Sie nun näherungsweise den Inhalt der von den Graphen

G_{f}

und

G_{h}

eingeschlossenen Fläche, indem Sie die Funktionen

p

und

q

als Näherungen für die Funktionen

f

und

h

verwenden.

Lösung zu Teilaufgabe 2d

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Der Inhalt der Fläche die die Graphen

G_{f}

und

G_{h}

einschließen (gelb) soll näherungsweise berechnet werden. Dazu sollen die Funktionen

p

und

q

als Näherung für

f

und

h

verwendet werden.

\Rightarrow \int_{- 1}^{1} (f - h) (x) d x \approx \int_{- 1}^{1} (p - q) (x) d x

= \int_{- 1}^{1} (((1 - e) x^{2} + e) - ((1 - \frac{1}{e}) x^{2} + \frac{1}{e})) d x

= \int_{- 1}^{1} (x^{2} \cdot (1 - e - 1 + \frac{1}{e}) + (e - \frac{1}{e})) d x

= \int_{- 1}^{1} (x^{2} \cdot (\frac{1}{e} - e) - (\frac{1}{e} - e)) d x

= (\frac{1}{e} - e) \cdot \int_{- 1}^{1} (x^{2} - 1) d x

\begin{matrix} = \\ ↑ \\ Symmetrie \end{matrix} 2 \cdot (\frac{1}{e} - e) \cdot \int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Hier ist

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x

, denn

F^{'} (x) = \frac{3}{3} x^{2} - 1 = x^{2} - 1 = f (x)

= 2 \cdot (\frac{1}{e} - e) \cdot {[\frac{1}{3} \cdot x^{3} - x]}_{0}^{1}

= 2 \cdot (\frac{1}{e} - e) \cdot \underset{- \frac{2}{3}}{\underset{︸}{(\frac{1}{3} - 1)}} - 0

= - \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{e} - e)

= \frac{4}{3} \cdot (e - \frac{1}{e})

Der Inhalt der Fläche die die Graphen von

p

und

q

einschließen (rot schraffiert) ist gleich

\frac{4}{3} \cdot (e - \frac{1}{e})

Flächeneinheiten.

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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