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Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik GK Analytische Geometrie V
Teilaufgabe 2c (5 BE)
Das Quadrat ASCS' bildet die Grundfläche einer Pyramide mit Spitze B. Berechnen Sie den Winkel, den die Kanten [AB] und [SB] einschließen, und begründen Sie damit, dass alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind.
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Winkel zwischen zwei Vektoren
Zeichnung: Pyramide
B
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und 
einschließen, gilt:
Das Dreieck ABS ist also ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge
und einem Winkel von 
.
Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks
Weil das Quadrat 
eine Seitenlänge von 
hat, folgt daraus, dass die Grundseiten aller anderen Dreiecke ebenfalls eine Länge von 
aufweisen.
ABC und
sind gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. M ist der Diagonalenschnittpunkt und Höhenfußpunkt. Daher ist die Pyramide regelmäßig und somit alle Seitenflächen gleichschenklig.
Aus der Symmetrie der Anordnung und der Tatsache, dass der Winkel zwischen
und 
beträgt, folgt, dass bei allen Seitenflächen ein Winkel von 
an der Pyramidenspitze vorliegt. Gleichschenklige Dreiecke mit einem Winkel von 
zwischen den Schenkeln sind gleichseitig.
eine Seitenlänge von hat, folgt daraus, dass die Grundseiten aller anderen Dreiecke ebenfalls eine Länge von aufweisen.ABC und
sind gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. M ist der Diagonalenschnittpunkt und Höhenfußpunkt. Daher ist die Pyramide regelmäßig und somit alle Seitenflächen gleichschenklig. Aus der Symmetrie der Anordnung und der Tatsache, dass der Winkel zwischen
und beträgt, folgt, dass bei allen Seitenflächen ein Winkel von an der Pyramidenspitze vorliegt. Gleichschenklige Dreiecke mit einem Winkel von zwischen den Schenkeln sind gleichseitig.
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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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