Lösung Abitur Bayern 1995 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Der Graph

G_{k}

und die x-Achse schließen ein Flächenstück ein, das sich im 1. Quadranten ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, daß diesem Flächenstück für alle k ein endlicher Inhalt

I_{k}

zugeordnet werden kann. Geben Sie den Wert von

I_{k}

an.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Uneigentliches Integral

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I_{k} = \int_{- \frac{k}{2}}^{\infty} f_{k} (x) dx

I_{k} = lim_{b \to \infty} \int_{- \frac{k}{2}}^{b} f_{k} (x) dx = {lim_{b \to \infty} [F_{k} (x)]}_{- \frac{k}{2}}^{b}

f_{k} (x) = (2 x + k) · e^{- \frac{x}{k}}

F_{k} (x) = (ax + b) · e^{- \frac{x}{k}}

{F_{k}}^{'} (x) = a · e^{- \frac{x}{k}} + (ax + b) · e^{- \frac{x}{k}} · (- \frac{1}{k})

{F_{k}}^{'} (x) = (\frac{ak}{k} - \frac{ax + b}{k}) · e^{- \frac{x}{k}}

{F_{k}}^{'} (x) = (- \frac{a}{k} x + a - \frac{b}{k}) · e^{- \frac{x}{k}}

{F_{k}}^{'} (x) = f_{k} (x)

Mittels Koeffizientenvergleich kann nun die Stammfunktion ermittelt werden.

- \frac{a}{k} = 2 \Rightarrow a = - 2 k

k = a - \frac{b}{k} \Rightarrow k = - 2 k - \frac{b}{k} \Rightarrow \frac{b}{k} = - 3 k \Rightarrow b = - 3 k^{2}

F_{k} = (- 2 kx - 3 k^{2}) · e^{- \frac{x}{k}}

I_{k} = lim_{b \to \infty} [\underset{\underset{↘ 0}{︸}}{\underset{\underset{↘ - \infty}{︸}}{(- 2 kb - 3 k^{2})} · \underset{\underset{↘ 0}{︸}}{e^{- \frac{b}{k}}}} - (- 2 k · (- \frac{k}{2}) - 3 k^{2}) · e^{\frac{k}{2 k}}] = 2 k^{2} · e^{\frac{1}{2}}

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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