Abitur 2016 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{3}{16} (x + 3) (x + \frac{4}{3}) (4 - x)

mit

D_{f} = ℝ

Teilaufgabe 1.1 (3 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen von

f

und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte

f (x)

für

x \to - \infty

und

x \to + \infty

an.

Teilaufgabe 1.2 (3 BE)

Zeigen Sie, dass sich

f (x)

auch in der Form

f (x) = - \frac{1}{16} (3 x^{3} + x^{2} - 40 x - 48)

darstellen lässt.

Teilaufgabe 1.3 (6 BE)

Ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen

G_{f}

Teilaufgabe 1.4 (4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen von

f

im Bereich

- 4 \leq x \leq 4

, auch unter Verwendung vorliegender Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm.

Teilaufgabe 1.5 (6 BE)

Berechnen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen

G_{f}

im Schnittpunkt mit der y-Achse. Bestimmen Sie dann den Bereich, in dem die Steigung des Graphen

G_{f}

größer ist als die berechnete Tangentensteigung.

Teilaufgabe 1.6 (6 BE)

Die Parabel

P

ist der Graph der quadratischen Funktion

p

S (- 4 | 4)

ist der Hochpunkt von

P

und zugleich Schnittpunkt von

P

mit

G_{f}

. Ein weiterer Schnittpunkt der beiden Graphen liegt auf der y-Achse. Ermitteln Sie den Funktionsterm von

p

und zeichnen Sie die Parabel

P

im Bereich

- 4 \leq x \leq 4

in das Koordinatensystem ein.

[Mögliches Teilergebnis:

p (x) = - \frac{1}{16} x^{2} - \frac{1}{2} x + 3

]

Teilaufgabe 1.7 (5 BE)

Die Graphen

G_{f}

und

P

schließen zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächenstücks, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt.

Gegeben ist die Funktionenschar

g_{a} : x \mapsto 0, 25 (x^{3} - 2 a x^{2})

mit

x, a \in ℝ

Teilaufgabe 2.1 (5 BE)

Ermitteln Sie die Nullstellen von

g_{a}

und geben Sie deren Vielfachheit in Abhängigkeit von

a

an.

Nun wird

a = 3

gesetzt und es gilt:

g_{3} (x) = 0, 25 (x^{3} - 6 x^{2})

. Des Weiteren ist die lineare Funktion

t : x \mapsto - 3 x + 2

mit

x \in ℝ

gegeben.

Teilaufgabe 2.2.1 (4 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von

G_{3}

Teilaufgabe 2.2.2 (5 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die abschnittsweise definierte Funktion

h : x \mapsto {\begin{matrix} g_{3} (x) & für x \leq 2 \\ t (x) & für x > 2 \end{matrix}

an der Nahtstelle differenzierbar ist.

Teilaufgabe 2.2.3 (2 BE)

Beschreiben Sie mithilfe der Ergebnisse der letzten beiden Teilaufgaben die besondere Lage des Graphen der linearen Funktion

t

in Bezug auf

G_{3}

Ein symmetrischer Trinkjoghurtbecher in der Form eines Fasses besitzt das Volumen

V = \frac{1}{12} π \cdot h \cdot (2 D^{2} + d^{2})

. Hierbei ist

d

jeweils der Durchmesser des Deckels und des Bodens und

D

der maximale Durchmesser des Bechers auf halber Höhe (alle Längen in cm gemessen).
Weiterhin soll

D

10 %

größer sein als

d

. Der Becher soll so konstruiert sein, dass ein 13 cm langer Strohhalm genau um 3 cm aus dem Becher herausragt, wenn er diagonal im Becher liegt (siehe Abbildung).

Teilaufgabe 3.1 (4 BE)

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion

V

auf, die die Maßzahl des Bechervolumens in Abhängigkeit von der Höhe

h

beschreibt.

[Mögliches Ergebnis:

V (h) = \frac{57}{200} π \cdot (- h^{3} + 100 h)

]

Teilaufgabe 3.2 (7 BE)

Mit der Vorgabe

5 \leq h \leq 9

soll der Becher für eine kostenlose Probe das geringste Volumen aufweisen. Berechnen Sie für diesen Fall die Höhe

h

in cm und das zugehörige Volumen in cm

^{3}

auf eine Nachkommastelle gerundet.

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Teilaufgabe 2.1

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Teilaufgabe 2.2.2

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Teilaufgabe 3.2

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