Abitur 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist für

k \in ℝ^{+}

die Schar von Funktionen

f_{k} : x \mapsto 1 - \frac{2 k}{e^{x} + k}

mit dem maximalen Definitionsbereich

D_{k}

. Der Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Geben Sie den Definitionsbereich

D_{k}

an. Bestimmen Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to - \infty

und für

x \to + \infty

und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von

G_{k}

an.

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von

G_{k}

.

[zur Kontrolle:

f_{k}^{'} (x) = \frac{2 k e^{x}}{{(e^{x} + k)}^{2}}

]

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{k}

die

x

-Achse nur im Punkt

S_{k} (\ln k | 0)

schneidet.
Die Tangente an

G_{k}

im Punkt

S_{k}

wird mit

t_{k}

bezeichnet. Begründen Sie, dass alle Tangenten

t_{k}

parallel zueinander sind.

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen

G_{1}

und

G_{8}

nicht schneiden.

Teilaufgabe 1e (6 BE)

Berechnen Sie

f_{1} (- 1)

f_{1} (1)

f_{8} (3)

. Zeichnen Sie die Graphen

G_{1}

und

G_{8}

, deren Asymptoten sowie die Tangenten

t_{1}

und

t_{8}

unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 1f (3 BE)

Begründen Sie, dass durch jeden Punkt der

x

-Achse ein Graph

G_{k}

verläuft.

Teilaufgabe 1g (5 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktion

F_{k} : x \mapsto 2 \cdot \ln (e^{x} + k) - x

mit

x \in D_{k}

eine Stammfunktion von

f_{k}

ist.

Teilaufgabe 1h (5 BE)

G_{8}

und die Koordinatenachsen begrenzen im IV. Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt.

Teilaufgabe 2 (4 BE)

Lässt man für den Parameter

k

auch negative Werte zu, so unterscheiden sich die Graphen

G_{k}

mit

k \in ℝ^{-}

von den Graphen

G_{k}

mit

k \in ℝ^{+}

. Geben Sie zwei grundsätzliche Unterschiede an und begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 1g

Teilaufgabe 1h

Teilaufgabe 2

Lösung als Video:

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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