Abitur 2005 Mathematik LK Analytische Geometrie V

Gegeben ist die Ebenenschar

Z_{a} : \vec{x} = \vec{OD} + λ (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) + τ (\begin{matrix} a \\ 2 a - 4 \\ 2 \end{matrix})

mit D(-2|0|-2) und

λ, τ, a \in R

Teilaufgabe 1a (2 BE)

Alle Scharebenen haben eine Gerade gemeinsam, die mit g bezeichnet wird. Geben Sie eine Gleichung von g an.

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Zeigen Sie, dass

Z_{a} : (4 a - 10) · x_{1} - (2 a + 4) · x_{2} + (5 a - 8) · x_{3} + 18 a - 36 = 0

eine weitere mögliche Gleichung für die Ebenenschar

Z_{a}

ist.

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters a die zugehörige Scharebene senkrecht auf der Scharebene

Z_{1}

steht.

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Scharebene

Z_{2}

eine winkelhalbierende Ebene der beiden zueinander senkrechten Scharebenen

Z_{1}

und

Z_{4}

ist.

Der Punkt M(-1|1|3) ist Mittelpunkt einer Kugel mit Radius

3 \sqrt{3}

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt D auf dieser Kugel liegt, und berechnen Sie die Koordinaten des Kugelpunkts F, für den [FD] ein Durchmesser der Kugel ist.
[Ergebnis: F(0|2|8)]

Teilaufgabe 2b (6 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Kugelpunkte, die auf der Geraden g liegen.
[Ergebnis: D und H(-6|2|2)]

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Berechnen Sie die Längen

\overline{DH}

und

\overline{HF}

und begründen Sie, dass man die drei Punkte D, F und H zu einem Würfel ABCDEFGH wie in der Abbildung ergänzen kann.

Teilaufgabe 2d (5 BE)

Zeigen Sie, dass das Dreieck DHF in der Ebene

Z_{2}

liegt. Begründen Sie ohne Rechnung nur mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, warum die Ebenen

Z_{1}

und

Z_{4}

je eine Würfelfläche enthalten.

Teilaufgabe 2e (4 BE)

Der Eckpunkt G liegt in

Z_{4}

(Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten von G.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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