Abitur 2000 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{4 (1 - lnx)}{{(lnx)}^{2}}

mit

D_{f}

= ] 1 ;

\infty

[.
Der Graph von f wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Geben Sie die Nullstelle von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von

D_{f}

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Bestimmen Sie die Monotoniebereiche von f und zeigen Sie, dass

G_{f}

genau einen Extrempunkt E besitzt. Geben Sie auch Art und Koordinaten von E an.
[zur Kontrolle:

f' (x) = \frac{4 (lnx - 2)}{x {(lnx)}^{3}}

]

Teilaufgabe 1c (4 BE)

Berechnen Sie f(2) und f(12) und zeichnen Sie

G_{f}

unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse (Längeneinheit 1 cm).

Teilaufgabe 1d (3 BE)

Begründen Sie ohne Verwendung der 2. Ableitung von f, dass

G_{f}

mindestens einen Wendepunkt besitzen muss.

Teilaufgabe 1e (3 BE)

Weisen Sie nach, dass durch

F (x) = - \frac{4 x}{lnx} + 4 e

eine integralfreie Darstellung der Funktion

x \mapsto \int_{e}^{x} f (t) dt

für x > 1 gegeben ist.

Teilaufgabe 1f (3 BE)

G_{f}

und die x-Achse begrenzen im vierten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Untersuchen Sie, ob dieses einen endlichen Inhalt besitzt.

In nebenstehender Figur ist der Querschnitt eines bezüglich der y-Achse rotationssymmetrischen, massiven Werkstücks gegeben. Ein Teil der Berandung des Querschnitts ist der Graph

G_{h}

der Funktion

h : x \mapsto 3 \sqrt{x - 1}

mit x

\in

[1;10].

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Querschnitts.

Teilaufgabe 2b (4 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion

h^{- 1}

von h und geben Sie den Definitions- und Wertebereich von

h^{- 1}

an.

Teilaufgabe 2c (8 BE)

Begründen Sie, dass

10^{2} Π + \int_{0}^{9} {(1 + \frac{1}{9} x^{2})}^{2} · Π dx

das Volumen des Werkstücks angibt und berechnen Sie dieses.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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